前言

大二下学期上的一门课,我们班主任教的。很惭愧,我翘了好多课,作业也基本是抄的

神奇的一点是,在考试前2天我花了约24小时的时间速通了复习课所讲的所有可能考的知识点,最后还提前交卷了

非常感谢老师捞我😭,也非常感谢 B 站上发教程的多位 Up 主😭

误差与有效数字

误差的来源

1)模型误差:建立数学模型时,对问题进行了简化,从而导致误差

2)观测误差:测量物理量时产生的误差

3)截断误差:在求解复杂问题时,需要用数值方法求近似解,进而产生截断误差

4)舍入误差:计算机的字长有限,会对有限位进行运算,导致舍入误差

误差与误差限

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有效数字

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误差的传播

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误差的改善

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拉格朗日插值

step1. 构造拉格朗日插值基函数

将所有Yi设为0,然后使其中一个Yi为1;找0点,设待定系数函数,从非零点求解待定系数。将所有Yi轮流设为1后,获得 i 个拉格朗日插值基函数

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step2. 构造一般插值多项式

使用插值基函数来构造

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线性插值与抛物线插值

线性插值:选 X1 Y1/ X2 Y2 两个点构造插值基函数,最终构造出的插值多项式是1次的

抛物线插值:选三个点构造插值基函数,最终构造出的插值多项式的2次的

插值余项

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$W(x)=|(x-x_0)(x-x_1)…(x-x_n)|$

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牛顿插值

step1. 计算牛顿均差(差商)

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step2. 构造牛顿插值多项式

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插商与导数

差商是导数的一种近似,当步长趋近于 0 且函数可导时,n阶差商趋近于 n阶导数

埃尔米特插值

对导数值有要求的插值统称Hermite插值问题

解决方式类似拉格朗日插值,都是求基函数然后构造一般插值多项式

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分段低次插值

龙格现象

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解决方法1:采用合适的节点分布,例如使用切比雪夫节点

解决方法2:使用分段低次插值

在每个区间上做线性插值多项式,最终的插值函数的图形是一条折线

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余项

分段求拉格朗日插值的余项即可

或使用余项估计式

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范数

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向量范数

1范数为绝对值之和

2范数为向量的模

无穷范数为向量中绝对值的最大值

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矩阵范数

1范数为列范数

2范数为$A^TA$的最大特征值开根号

无穷范数为行范数

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函数范数

1范数为函数绝对值在规定范围的定积分

无穷范数为函数绝对值在规定范围的最大值

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正交多项式

函数的内积:连续型内积

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判断两个多项式在给定区间中是否正交:

给定区间即 [a,b],待入公式的积分上下限即可。对于给出的两个多项式,带到f(x),g(x)中即可,权函数题目会给

勒让德多项式

这是一个正交的多项式,勒让德多项式在区间 [−1,1] 上相对于权重函数 w(x)=1 是正交的

递归定义:

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最佳平方逼近

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利用勒让德多项式求最近平方逼近

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step1. 求原函数与勒让德多项式的内积

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step2. 求最佳平方逼近多项式系数

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最小二乘法

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其中$Yi = [x1^i, x2^i, …, xn^i]$ $f=[y1, y2, …, yn]$

$ai$ 是最终拟合多项式对应 $x^i$ 的系数

一次形式拟合

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二次形式拟合

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步骤与一次形式大同小异,解出 a0、a1、a2 即可

数值积分

常用求积公式

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梯形/中矩形公式代数精度:1次

simpson公式代数精度:3次

截断误差:

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Newton-Cotes公式

公式本体:$积分近似=(b-a)[k0f(x0) + k1f(x1) + … + kif(xi)]$

其中 $xi = a + ih$, $h = (b – a) / n$

n 可以理解为对积分区间分割的步数,n = 1 时,将积分区间分为 1 份:a ~ b,此时获得梯形求积公式

n = 2 时,将积分区间分为了 2 份:a ~ (a-b)/2 ~ b,此时获得simpson公式

ki 是与原函数形式无关的,我们将 ki 排列成表格,就获得了 Cotes 系数表

复化求积公式

即将积分区间分为若干段,对每段使用积分公式求积,然后累加

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其截断误差也为每段截断误差的累加

数值微分

差商型

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插值型

将原函数使用插值多项式近似,用插值多项式的导数来近似替代原函数的导数

高斯消元法

将方程组的增广矩阵化为下三角矩阵,然后简化求解

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主元素消去法

是高斯消元的进阶方法

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直接三角分解法(LU分解法)

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step1. 画框,框左上设为”主元“

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step2. 主元同行元素减去框外对应元素乘积,同列元素减去后再除以变化后的主元

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step3. 向内缩框,重复步骤

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step4. 写LU矩阵

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Jocobi迭代法

将 $Ax = b$ 的矩阵化为 $x_{i+1} = Bx_i + g$

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Gauss-Seidel迭代法

是 jocobi 迭代的改进

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充分利用已经求解出的 $x_{i+1}$

迭代矩阵公式

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L、U矩阵是 A 的上下三角矩阵,D矩阵是 A 矩阵的对角线矩阵,有 A = D + L + U

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迭代法的收敛性判别

  1. 若 A 为严格对角占优,则 J 和 GS 迭代都收敛 (充分)
  2. 若存在迭代矩阵 B 的某种范数满足 || B || < 1,则 J 和 GS 迭代都收敛 (充分)
  3. 谱半径 < 1 则 J 和 GS 迭代都收敛 (充分必要)

严格对角占优

分为行对角占优和列对角占优

只需要找到矩阵的所有对角元素,然后和其“同行元素的绝对值的和”、“同列元素的绝对值的和”进行比较

若大于,则视为占优

谱半径

谱半径是迭代矩阵的特征值的最大值,$B_j$ 和 $B_{GS}$ 的谱半径要分开算

非线性方程求根的二分法

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使用二分法的前提是有异号区间

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重根判别:

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非线性方程求根的牛顿迭代法

使用切线不断逼近零点

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Euler 方法

已知条件:原函数的导数,原函数某点的函数值;要求原函数另外一点的值

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我们通过差商来代替导数,来近似算出 $y_{n+1}$ 的值

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我们定义 $h = x_{n+1} – x_n$ 为步长,可获得 Euler 方法的公式

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Euler 方法的图像推导

容易推出:

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可以看到有一个求积分的式子。对该式子使用求积公式,即可推导出不同的 Euler 公式

前进 Euler 公式:积分部分用左矩形公式近似

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后退 Euler 公式:积分部分用右矩形公式近似

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梯形 Euler 公式和改进 Euler 公式

梯形方法:更加精确,但是计算量上升了

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改进 Euler 公式:

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